On the Borel–Cantelli lemma and its generalization

Abstract

Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>∞</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:math> be a sequence of events on a probability space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="script">F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:math> . We show that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal">lim</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>∞</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>∞</mml:mo> </mml:math> where each <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:math> , then <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">lim sup</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:munder> <mml:mi mathvariant="normal">lim sup</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>∞</mml:mo> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi mathvariant="bold">P</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math>