Liouville theorems for semilinear equations on the Heisenberg group

Abstract

In this paper we consider problems of the type \tag{1} \begin{cases} \Delta _{H}u + h\left(x\right)u^{p} \leq 0, & \text{in }D \subset ℝ^{2n + 1}, \\ u \geq 0 & \text{in }D, \end{cases} where ΔH is the Heisenberg Laplacian, D is an unbounded domain and h is a non negative function. We prove that, under suitable conditions on h, p and D , the only solution of (1) is u ≡ 0 . Résumé Dans ce travail nous considérons des problèmes du type \tag{1} \begin{cases} \Delta _{H}u + h\left(x\right)u^{p} \leq 0, & \text{dans }D \subset ℝ^{2n + 1}, \\ u \geq 0 & \text{dans }D, \end{cases} où ΔH est le Laplacien de Heisenberg, D est un domaine non borné et h est une fonction positive. Nous démontrons que sous certaines hypothèses sur h, p et D , la seule solution de (1) est u ≡ 0 .