Transactions of the American Mathematical Society · 1981 · 58 citations · 9 references
Natural SciencesComputer ScienceMathematicsAlgebraGeometryNumber TheoryAbstract AlgebraAlgebraic GeometryArithmetic GeometryElliptic CurvesGalois TheoryQuadratic FormsElliptic Curve ArithmeticElliptic Curve GroupsElliptic Curve RankElliptic Curves In GeometryFinite Field ArithmeticMordell-weil Group ComputationMordell-weil SieveMordell-weil Theorem
This paper is a study of variations in the rank of the Mordell-Weil group of an elliptic curve <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> defined over a number field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> as one passes to quadratic extensions <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper K"> <mml:semantics> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">K</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S(K)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the Selmer group for multiplication by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E(K)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In analogy with genus theory, we describe <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S(K)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in terms of various objects defined over <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and the local norm indices <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i Subscript upsilon Baseline equals dimension Subscript bold upper F 2 Baseline upper E left-parenthesis upper F Subscript upsilon Baseline right-parenthesis slash Norm left-brace upper E left-parenthesis upper K Subscript w Baseline right-parenthesis right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="bold">F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>Norm</mml:mtext> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{i_\upsilon } = {\dim _{{{\mathbf {F}}_2}}}E({F_\upsilon })/\text {Norm} \{ E({K_w})\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for each completion <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Subscript upsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{F_\upsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F"> <mml:semantics> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In particular we show that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="dimension upper S left-parenthesis upper K right-parenthesis plus dimension upper E left-parenthesis upper K right-parenthesis Subscript 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mo></mml:mo> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\dim S(K) + \dim E{(K)_2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has the same parity as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Sigma i Subscript upsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Σ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Sigma {i_\upsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. We compute <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="i Subscript upsilon"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>υ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{i_\upsilon }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has good or multiplicative reduction modulo <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upsilon"> <mml:semantics> <mml:mi>υ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\upsilon</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Assuming that the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2"> <mml:semantics> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-primary component of the Tate-Shafarevitch group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="Ш left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>Ш</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Sha (K)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is finite, as conjectured, we obtain the parity of rank <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E left-parenthesis upper K right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi
9
The arithmetic of elliptic curves
John Tate · Inventiones mathematicae · 1974 · 303 citations
Twists of newforms and pseudo-eigenvalues ofW-operators
A. O. L. Atkin, W Li · Inventiones mathematicae · 1978 · 166 citations
Armand Brumer, Kenneth Kramer · Duke Mathematical Journal · 1977 · 157 citations