Unusually large gaps between consecutive primes

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denote the largest gap between consecutive primes below <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In a series of papers from 1935 to 1963, Erdàs, Rankin, and Schànhage showed that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G left-parenthesis x right-parenthesis greater-than-or-equal-to left-parenthesis c plus o left-parenthesis 1 right-parenthesis right-parenthesis log x l o g l o g x l o g l o g l o g l o g x left-parenthesis l o g l o g l o g x right-parenthesis Superscript negative 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>log</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>loglog</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>loglogloglog</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>logloglog</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G(x) \geq (c + o(1)){\operatorname {log}}x{\operatorname {loglog}}x{\operatorname {loglogloglog}}x{({\operatorname {logloglog}}x)^{ - 2}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> , where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c equals e Superscript gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi> γ </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c = {e^\gamma }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma"> <mml:semantics> <mml:mi> γ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is Euler’s constant. Here, this result is shown with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c equals c 0 e Superscript gamma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi> γ </mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">c = {c_0}{e^\gamma }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="c 0 equals 1.31256 ellipsis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1.31256</mml:mn> <mml:mo> … </mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{c_0} = 1.31256 \ldots</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the solution of the equation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="4 slash c 0 minus e Superscript negative 4 slash c 0 Baseline equals 3"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo>