Construction and analysis of some convolution algebras

Abstract

À une famille Ω de fonctions positives ω sur un groupe G abélien localement compact, on associe l'ensemble A 2 des fonctions qui sont de carré sommable sur G par rapport à dx/ω(x) pour au moins un ω∈Ω. Sous certaines conditions simples, portant sur Ω, c'est une algèbre de convolution, contenue dans L 1 (G). On étudie particulièrement le cas G= droite réelle, Ω= ensemble des fonctions paires, sommables, décroissantes sur ]0,∞[. Une caractérisation explicite de A ˜ (ensemble des transformées de Fourier des f∈A) est alors donnée, ainsi que la structure des idéaux fermés et la définition des formes linéaires sur A ˜. On définit aussi l'ensemble des multiplicateurs sur A ˜. Pour étudier les idéaux fermés, l'outil essentiel est l'opération de contraction dans A ˜. Plusieurs généralisations et sujets d'études sont indiqués.