Existence of solutions for compressible fluid models of Korteweg type

Abstract

The purpose of this work is to prove existence and uniqueness results of suitably smooth solutions for an isothermal model of capillary compressible fluids derived by J.E. Dunn and J. Serrin (1985), which can be used as a phase transition model. We first study the well-posedness of the model in spaces with critical regularity indices with respect to the scaling of the associated equations. In a functional setting as close as possible to the physical energy spaces, we prove global existence of solutions close to a stable equilibrium, and local in time existence for solutions when the pressure law may present spinodal regions. Uniqueness is also obtained. Assuming a lower and upper control of the density, we also show the existence of weak solutions in dimension 2 near equilibrium. Finally, referring to the work of Z. Xin (1998) in the non-capillary case, we describe some blow-up properties of smooth solutions with finite total mass. Résumé On s’intéresse ici à des résultats d’existence et d’unicité de solutions pour un modèle de fluides compressibles isothermes avec capillarité. Ce modèle de transition de phase a été dérivé par J.E. Dunn et J. Serrin (1985). Pour commencer, on montre que le problème de Cauchy est bien posé dans des espaces à régularité critique pour le scaling des équations. Pour des données initiales proches d’un état d’équilibre stable, on obtient l’existence globale (et l’unicité) de solutions dans un cadre fonctionnel aussi proche que possible de l’espace d’énergie physique. Pour des lois de pression plus générales (pouvant être décroissantes), on prouve des résultats locaux en temps. En supposant que l’on dispose d’un minorant strictement positif et d’une borne supérieure pour la densité, on obtient l’existence de solutions faibles en dimension 2 pour des données initiales proches de l’équilibre. Enfin, en adaptant un travail de Z. Xin pour les fluides sans capillarité, on établit l’explosion de solutions régulières à masse totale finie.