Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller–Segel system

Abstract

This paper is concerned with the parabolic Keller–Segel system \left\{\begin{matrix} u_{t} = \mathrm{∇} \cdot \left(\mathrm{∇}u−u^{m}\mathrm{∇}v\right) & \text{in }\Omega \times (0,T), \\ \Gamma v_{t} = \mathrm{\Delta }v−\lambda v + u & \text{in }\Omega \times (0,T), \\ \end{matrix}\right. in a domain Ω of \mathbb{R}^{N} with N⩾1 , where m,\Gamma > 0 , \lambda ⩾0 are constants and T > 0 . When \Omega \neq \mathbb{R}^{N} , we impose the Neumann boundary conditions on the boundary. Under suitable assumptions, we prove the local nondegeneracy of blow-up points. This seems new even for the classical Keller–Segel system ( m = 1 ). Lower global blow-up estimates are also obtained. In the singular case 0 < m < 1 , as a prerequisite, local existence and regularity properties are established. Résumé Dans cet article, nous étudions le système parabolique de Keller–Segel \left\{\begin{matrix} u_{t} = \mathrm{∇} \cdot \left(\mathrm{∇}u−u^{m}\mathrm{∇}v\right) & \text{dans }\Omega \times (0,T), \\ \Gamma v_{t} = \mathrm{\Delta }v−\lambda v + u & \text{dans }\Omega \times (0,T), \\ \end{matrix}\right. avec Ω un domaine de \mathbb{R}^{N} , N⩾1 , où m,\Gamma > 0 , \lambda ⩾0 sont des constantes et T > 0 . Lorsque \Omega \neq \mathbb{R}^{N} , les conditions aux limites de Neumann sont prescrites sur le bord. Sous des hypothèses convenables, nous prouvons la non-dégénérescence locale des points d'explosion. Ce résultat semble nouveau même dans le cas du système de Keller–Segel classique ( m = 1 ). Des estimations inférieures globales de la vitesse d'explosion sont également obtenues. Dans le cas singulier 0 < m < 1 , nous établissons les propriétés nécessaires d'existence locale et de régularité.