Existence results for mean field equations

Abstract

Let Ω be an annulus. We prove that the mean field equation \begin{cases} - \Delta \psi = \frac{e^{ - \beta \psi }}{\int _{\Omega }e^{ - \beta \psi }} & \text{in }\Omega \\ \psi = 0 & \text{on }\partial \Omega \end{cases} admits a solution for β \in (−16π, −8π) . This is a supercritical case for the Moser–Trudinger inequality. Résumé On montre que l’équation de champ moyen \begin{cases} - \Delta \psi = \frac{e^{ - \beta \psi }}{\int _{\Omega }e^{ - \beta \psi }} & \text{dans }\Omega \\ \psi = 0 & \text{sur }\partial \Omega \end{cases} pour Ω étant un anneau, admet une solution pour β ∈ (−16π, −8π) . Celà represente un cas supercritique pour l’inegalité de Moser–Trudinger.