Asymptotic behavior for doubly degenerate parabolic equations

Abstract

We use mass transportation inequalities to study the asymptotic behavior for a class of doubly degenerate parabolic equations of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" mode="display"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>div</mml:mi> <mml:mfenced separators="" open="{" close="}"> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mfenced separators="" open="[" close="]"> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mfenced separators="" open="(" close=")"> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> </mml:mfenced> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mspace width="4pt"/> <mml:mi>in</mml:mi> <mml:mspace width="3.30002pt"/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>and</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>in</mml:mi> <mml:mspace width="3.30002pt"/> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , or a bounded domain of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> in which case <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>'</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mi>·</mml:mi> <mml:mspace width="0.277778em"/> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We investigate the case where the potential V is uniformly c -convex , and the degenerate case where V =0. In both cases, we establish an exponential decay in relative entropy and in the c -Wasserstein distance of solutions – or self-similar solutions – of (1) to equilibrium, and we give the explicit rates of convergence. In particular, we generalize to all p &gt;1, the HWI inequalities obtained by Otto and Villani (J. Funct. Anal. 173 (2) (2000) 361–400) when p =2. This class of PDEs includes the Fokker–Planck, the porous medium, fast diffusion and the parabolic p -Laplacian equations.