Linear differential equations with coefficients in weighted Bergman and Hardy spaces

Abstract

Complex linear differential equations of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis reverse-solidus dagger right-parenthesis EndLabel f Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline plus a Subscript k minus 1 Baseline left-parenthesis z right-parenthesis f Superscript left-parenthesis k minus 1 right-parenthesis Baseline plus midline-horizontal-ellipsis plus a 1 left-parenthesis z right-parenthesis f Superscript prime Baseline plus a 0 left-parenthesis z right-parenthesis f equals 0 EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable side="left" displaystyle="false"> <mml:mlabeledtr> <mml:mtd> <mml:mtext>(\dagger)</mml:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation}\tag {\dagger } f^{(k)}+a_{k-1}(z)f^{(k-1)}+\cdots +a_1(z)f’+a_0(z)f=0 \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> with coefficients in weighted Bergman or Hardy spaces are studied. It is shown, for example, that if the coefficient <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript j Baseline left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_j(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis dagger right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>†</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(\dagger )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> belongs to the weighted Bergman space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript alpha Superscript StartFraction 1 Over k minus j EndFraction"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^\frac {1}{k-j}_\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha \ge 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j equals 0 comma ellipsis comma k minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j=0,\ldots ,k-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then all solutions are of order of growth at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha"> <mml:semantics> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, measured according to the Nevanlinna characteristic. In the case when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha equals 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha =0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> all solutions are shown to be not only of order of growth zero, but of bounded characteristic. Conversely, if all solutions are of order of growth at most <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha greater-than-or-equal-to 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha \ge 0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then the coefficient <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript j Baseline left-parenthesis z right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_j(z)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is shown to belong to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A Subscript alpha Superscript p Super Subscript j"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A^{p_j}_\alpha</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript j Baseline element-of left-parenthesis 0 comma StartFraction 1 Over k minus j EndFraction right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p_j\in (0,\frac {1}{k-j})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="j equals 0 comma ellipsis comma k minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">j=0,\ldots ,k-1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Analogous results, when the coefficients belong to certain weighted Hardy spaces, are obtained. The non-homogeneous equation associated to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis dagger right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>†</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding