Well-posedness of higher order abstract Cauchy problems

Abstract

The paper is concerned with differential equations of the type <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row with Label left-parenthesis asterisk right-parenthesis EndLabel u Superscript left-parenthesis n plus 1 right-parenthesis Baseline left-parenthesis t right-parenthesis minus upper A u Superscript left-parenthesis n right-parenthesis Baseline left-parenthesis t right-parenthesis minus upper B 1 u Superscript left-parenthesis n minus 1 right-parenthesis Baseline left-parenthesis t right-parenthesis minus midline-horizontal-ellipsis minus upper B Subscript n Baseline u left-parenthesis t right-parenthesis equals 0 EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable side="left" displaystyle="false"> <mml:mlabeledtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mtext>(</mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> ∗ </mml:mo> </mml:mrow> <mml:mtext>)</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mo> ⋯ </mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation}\tag {$\ast $} {u^{(n + 1)}}(t) - A{u^{(n)}}(t) - {B_1}{u^{(n - 1)}}(t) - \cdots - {B_n}u(t) = 0\end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> in a Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a linear operator with dense domain <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-parenthesis upper A right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">D(A)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B 1 comma ellipsis comma upper B Subscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo> … </mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{B_1}, \ldots ,{B_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are closed linear operators with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper D left-parenthesis upper A right-parenthesis subset-of upper D left-parenthesis upper B Subscript k Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics>