The invariant polynomials on simple Lie superalgebras

Abstract

Chevalley’s theorem states that for any simple finite dimensional Lie algebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German g"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {g}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>: (1) the restriction homomorphism of the algebra of polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis German g Superscript asterisk Baseline right-parenthesis long right-arrow upper S left-parenthesis German h Superscript asterisk Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">⟶</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S(\mathfrak {g}^*)\longrightarrow S(\mathfrak {h}^*)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> onto the Cartan subalgebra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German h"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {h}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> induces an isomorphism <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S left-parenthesis German g Superscript asterisk Baseline right-parenthesis Superscript German g Baseline approximately-equals upper S left-parenthesis German h Superscript asterisk Baseline right-parenthesis Superscript upper W"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>≅</mml:mo> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>W</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S(\mathfrak {g}^*)^{\mathfrak {g}}\cong S(\mathfrak {h}^*)^{W}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper W"> <mml:semantics> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">W</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the Weyl group of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German g"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {g}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; (2) each <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German g"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {g}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-invariant polynomial is a linear combination of the polynomials <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="trace rho left-parenthesis x right-parenthesis Superscript k"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>tr</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {tr} \rho (x)^k</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho"> <mml:semantics> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a finite dimensional representation of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German g"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {g}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. None of these facts is necessarily true for simple Lie superalgebras. We reformulate Chevalley’s theorem as formula <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis asterisk right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(*)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> below to include Lie superalgebras. Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German h"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {h}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the split Cartan subalgebra of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German g"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {g}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>; let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R equals upper R Subscript plus Baseline union upper R Subscript minus"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>∪</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R=R_+\cup R_-</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be the set of nonzero roots of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="German g"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="fraktur">g</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathfrak {g}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, the union of positive and negative ones. Set <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R overTilde Subscript plus Baseline equals left-brace alpha element-of upper R Subscript plus Baseline bar negative alpha element-of upper R Subscript minus Baseline right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">~</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>∣</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\tilde R_+=\{\alpha \in R_+\mid -\alpha \in R_-\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. For each root <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha element-of upper R overTilde Subscript plus"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mm