Decay rates of solutions to a von Kármán system for viscoelastic plates with memory

Abstract

We consider the dynamical von Kármán equations for viscoelastic plates under the presence of a long-range memory. We find uniform rates of decay (in time) of the energy, provided that suitable assumptions on the relaxation functions are given. Namely, if the relaxation decays exponentially, then the first-order energy also decays exponentially, When the relaxation <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g"> <mml:semantics> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfies <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus c 1 g Superscript 1 plus StartFraction 1 Over p EndFraction Baseline left-parenthesis t right-parenthesis less-than-or-equal-to g prime left-parenthesis t right-parenthesis less-than-or-equal-to minus c 0 g left-parenthesis t right-parenthesis Superscript 1 plus StartFraction 1 Over p EndFraction Baseline comma 0 less-than-or-equal-to g left-parenthesis t right-parenthesis less-than-or-equal-to c 2 g Superscript 1 plus StartFraction 1 Over p EndFraction Baseline left-parenthesis t right-parenthesis comma and"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="mediummathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>and</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">- {c_1}{g^{1 + \frac {1}{p}}}\left ( t \right ) \le g’\left ( t \right ) \le - {c_0}g{\left ( t \right )^{1 + \frac {1}{p}}}, \qquad 0 \le g\left ( t \right ) \le {c_2}{g^{1 + \frac {1}{p}}}\left ( t \right ) , \: \textrm {and}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="g comma g Superscript 1 plus StartFraction 1 Over p EndFraction Baseline element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis double-struck upper R right-parenthesis with p greater-than 2 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>with</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mspace width="mediummathspace"/> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">g, {g^{1 + \frac {1}{p}}} \in {L^1}\left ( \mathbb {R} \right ) \textrm {with} \: p &gt; 2 ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> then the energy decays as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction 1 Over left-parenthesis 1 plus t right-parenthesis Superscript p Baseline EndFraction"> <mml:semantics> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {1}{\left ( 1 +t \right )^{p}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. A new Liapunov functional is built for this problem.