The Euler characteristic of the Whitehead automorphism group of a free product

Abstract

A combinatorial summation identity over the lattice of labelled hypertrees is established that allows one to gain concrete information on the Euler characteristics of various automorphism groups of free products of groups. In particular, we establish formulae for the Euler characteristics of: the group of Whitehead automorphisms <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper W normal h left-parenthesis asterisk upper G Subscript i Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">W</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathrm {Wh}(\ast _{i=1}^n G_i)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript i"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are of finite homological type; <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A u t left-parenthesis asterisk upper G Subscript i Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Aut</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Aut}(\ast _{i=1}^n G_i)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper O u t left-parenthesis asterisk upper G Subscript i Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Out</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {Out} (\ast _{i=1}^n G_i)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> when the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G Subscript i"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G_i</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are finite; and the palindromic automorphism groups of finite rank free groups.