Global analysis of the generalised Helfrich flow of closed curves immersed in ℝⁿ

Abstract

In this paper we consider the evolution of regular closed elastic curves <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma"> <mml:semantics> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> immersed in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Equipping the ambient Euclidean space with a vector field <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck c colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {c}:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and a function <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, we assume the energy of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma"> <mml:semantics> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is smallest when the curvature <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove kappa With right-arrow"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\vec {\kappa }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma"> <mml:semantics> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is parallel to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove c With right-arrow Subscript 0 Baseline equals left-parenthesis double-struck c ring gamma right-parenthesis plus left-parenthesis f ring gamma right-parenthesis tau"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\vec {c}_0 = (\mathbb {c}\circ \gamma ) + (f\circ \gamma )\tau</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="tau"> <mml:semantics> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\tau</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the unit vector field spanning the tangent bundle of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="gamma"> <mml:semantics> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\gamma</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. This leads us to consider a generalisation of the Helfrich functional <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H Subscript lamda Superscript ModifyingAbove c With right-arrow Super Subscript 0"> <mml:semantics> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {H}^{\vec {c}_0}_{\lambda }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, defined as the sum of the integral of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue ModifyingAbove kappa With right-arrow minus ModifyingAbove c With right-arrow Subscript 0 Baseline EndAbsoluteValue squared"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|\vec {\kappa }-\vec {c}_0|^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-weighted length. We primarily consider the case where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f colon double-struck upper R Superscript n Baseline right-arrow double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f:\mathbb {R}^n\rightarrow \mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is uniformly bounded in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript normal infinity Baseline left-parenthesis double-struck upper R Superscript n Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C^\infty (\mathbb {R}^n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck c colon double-stru