The linear heat equation with highly oscillating potential

Abstract

In this paper we consider the following initial value problem: <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout Enlarged left-brace 1st Row 1st Column StartFraction partial-differential u Over partial-differential t EndFraction equals minus upper H u plus upper V left-parenthesis x right-parenthesis u 2nd Column a m p semicolon in double-struck upper R Superscript upper N Baseline times left-parenthesis 0 comma upper T right-parenthesis comma 2nd Row 1st Column u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals u 0 left-parenthesis x right-parenthesis greater-than-or-equal-to 0 2nd Column a m p semicolon on double-struck upper R Superscript upper N Baseline times left-brace t equals 0 right-brace comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable columnalign="left left" rowspacing=".2em" columnspacing="1em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ≥ </mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtext>on </mml:mtext> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> <mml:mo fence="true" stretchy="true" symmetric="true"/> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin {cases} \frac {\partial u}{\partial t}=-Hu+V(x)u &amp; \text {in $\mathbb {R}^N\times (0,T)$},\\ u(x,0) = u_0 (x)\geq 0 &amp; \text {on $\mathbb {R}^N \times \{t=0\}$}, \end {cases}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H equals negative normal upper Delta minus StartFraction beta Over StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue squared EndFraction sine left-parenthesis StartFraction 1 Over StartAbsoluteValue x EndAbsoluteValue Superscript alpha Baseline EndFraction right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi> β </mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi>sin</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo>