A model for one-dimensional, nonlinear viscoelasticity

Abstract

The problem <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript t t Baseline equals a left-parenthesis 0 right-parenthesis sigma left-parenthesis u Subscript x Baseline right-parenthesis Subscript x Baseline plus integral Subscript 0 Superscript t Baseline ModifyingAbove a With dot left-parenthesis t minus tau right-parenthesis sigma left-parenthesis u Subscript x Baseline right-parenthesis Subscript x Baseline d tau plus f comma 0 greater-than x greater-than 1 comma t greater-than 0 comma u left-parenthesis 0 comma t right-parenthesis identical-to u left-parenthesis 1 comma t right-parenthesis identical-to 0 comma u left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals u Subscript o Baseline left-parenthesis x right-parenthesis comma u Subscript t Baseline left-parenthesis x comma 0 right-parenthesis equals u 1 left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>τ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace linebreak="newline"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace linebreak="newline"/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>o</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="2em"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{u_{tt}} = a\left ( 0 \right )\sigma {\left ( {{u_x}} \right )_x} + \int _0^t {\dot a} \left ( {t - \tau } \right )\sigma {\left ( {{u_x}} \right )_x}d\tau + f, \qquad 0 &gt; x &gt; 1, \qquad t &gt; 0, \\ u\left ( {0, t} \right ) \equiv u\left ( {1, t} \right ) \equiv 0, \\ u\left ( {x, 0} \right ) = {u_o}\left ( x \right ), \qquad {u_t}\left ( {x, 0} \right ) = {u_1}\left ( x \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> is considered. The essential hypotheses are that <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a left-parenthesis t right-parenthesis equals a Subscript normal infinity Baseline plus upper A left-parenthesis t right-parenthesis comma a Subscript normal infinity Baseline greater-than 0 comma upper A element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis 0 comma normal infinity right-parenthesis comma left-parenthesis negative 1 right-parenthesis Superscript k Baseline a Superscript left-parenthesis k right-parenthesis Baseline left-parenthesis t right-parenthesis greater-than-or-equal-to 0 comma k equals 0 comma 1 comma 2 comma sigma left-parenthesis 0 right-parenthesis equals 0 comma sigma prime left-parenthesis xi right-parenthesis greater-than-or-equal-to epsilon greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace linebreak="newline"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a\left ( t \right ) = {a_\infty } + A\le