Regularity criterion via the pressure on weak solutions to the 3D Navier-Stokes equations

Abstract

We consider the regularity of weak solutions to the Navier-Stokes equations in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Leray-Hopf weak solution. It is proved that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u"> <mml:semantics> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> becomes a regular solution if the pressure <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p element-of upper L Superscript 1 Baseline left-parenthesis 0 comma upper T semicolon ModifyingAbove upper B With dot Subscript normal infinity comma normal infinity Superscript 0 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p \in L^1(0,T; \dot B^0_{\infty ,\infty })</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .