Bilinear operators on Herz-type Hardy spaces

Abstract

The authors prove that bilinear operators given by finite sums of products of Calderón-Zygmund operators on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R Superscript n"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are bounded from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H ModifyingAbove upper K With dot Subscript q 1 Superscript alpha 1 comma p 1 times upper H ModifyingAbove upper K With dot Subscript q 2 Superscript alpha 2 comma p 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H\dot K_{q_{1}}^{\alpha _{1},p_{1}}\times H\dot K_{q_{2}}^{\alpha _{2},p_{2}}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> into <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H ModifyingAbove upper K With dot Subscript q Superscript alpha comma p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H\dot K_{q}^{\alpha ,p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if and only if they have vanishing moments up to a certain order dictated by the target space. Here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H ModifyingAbove upper K With dot Subscript q Superscript alpha comma p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H\dot K_{q}^{\alpha ,p}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are homogeneous Herz-type Hardy spaces with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash p equals 1 slash p 1 plus 1 slash p 2 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/p=1/p_{1}+1/p_{2},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than p Subscript i Baseline less-than-or-equal-to normal infinity comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;p_{i}\le \infty ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash q equals 1 slash q 1 plus 1 slash q 2 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/q=1/q_{1}+1/q_{2},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than q 1 comma q 2 greater-than normal infinity comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1&gt;q_{1},q_{2}&gt;\infty ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to q greater-than normal infinity comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1\le q&gt;\infty ,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="alpha equals alpha 1 plus alpha 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" al