Asymptotic estimates for a two-dimensional problem with polynomial nonlinearity

Abstract

In this paper we give asymptotic estimates of the least energy solution <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="u Subscript p"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">u_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of the functional <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper J left-parenthesis u right-parenthesis equals integral Underscript normal upper Omega Endscripts StartAbsoluteValue nabla u EndAbsoluteValue squared constrained on the manifold integral Underscript normal upper Omega Endscripts StartAbsoluteValue u EndAbsoluteValue Superscript p plus 1 Baseline equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>constrained on the manifold </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*} J(u) =\int _\Omega |\nabla u|^2 \quad \text {constrained on the manifold }\int _\Omega |u|^{p+1}=1\end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> as <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> goes to infinity. Here <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a smooth bounded domain of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R squared"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}^2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Among other results we give a positive answer to a question raised by Chen, Ni, and Zhou (2000) by showing that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="limit Underscript p right-arrow normal infinity Endscripts StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue u Subscript p Baseline StartAbsoluteValue EndAbsoluteValue Subscript normal infinity Baseline equals StartRoot e EndRoot"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo form="prefix">lim</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">→</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>e</mml:mi> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lim \limits _{p\rightarrow \infty }||u_{p}||_{\infty }=\sqrt e</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.