Additivity of Jordan*-maps on 𝐴𝑊*-algebras

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be AW*-algebras and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a Jordan*-map from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> which satisfies (1) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis x ring y right-parenthesis equals phi left-parenthesis x right-parenthesis ring phi left-parenthesis y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∘<!-- ∘ --></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∘<!-- ∘ --></mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi (x \circ y) = \phi (x) \circ \phi (y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x"> <mml:semantics> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="y"> <mml:semantics> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, (2) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi left-parenthesis x Superscript asterisk Baseline right-parenthesis equals phi left-parenthesis x right-parenthesis Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi ({x^*}) = \phi {(x)^*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x element-of upper M"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x \in M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and (3) <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is bijective, where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="x ring y equals left-parenthesis 1 slash 2 right-parenthesis left-parenthesis x y plus y x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∘<!-- ∘ --></mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">x \circ y = (1/2)(xy + yx)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> has no abelian direct summand and a Jordan*-map <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is uniformly continuous on every abelian <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C^*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-subalgebra of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then we can conclude that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is additive. Moreover, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi"> <mml:semantics> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\phi</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the sum of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi Subscript i Baseline left-parenthesis i equals 1 comma 2 comma 3 comma 4 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\phi _i}(i = 1,2,3,4)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi 1"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{\phi _1}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a linear <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="asterisk"> <mml:semantics> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> <mml:annotation encoding="application/x-tex">*</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>-ring isomorphism, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="phi 2"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ<!-- ϕ --></mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="applica