Invertible completions of 2×2 upper triangular operator matrices

Abstract

In this note we prove that if <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript upper C Baseline equals Start 1 By 3 Matrix 1st Row 1st Column upper A 2nd Column a m p semicolon upper C 0 3rd Column a m p semicolon upper B EndMatrix"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation*}M_{C}=\left (\begin {smallmatrix}A&amp;C\ 0&amp;B\end{smallmatrix} \right ) \end{equation*}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 times 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2\times 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> upper triangular operator matrix acting on the Banach space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X circled-plus upper Y"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo> ⊕ </mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X\oplus Y</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript upper C"> <mml:semantics> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_{C}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is invertible for some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C element-of script upper L left-parenthesis upper Y comma upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">C\in \mathcal {L}(Y,X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> if and only if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A element-of script upper L left-parenthesis upper X right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A\in \mathcal {L}(X)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B element-of script upper L left-parenthesis upper Y right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B\in \mathcal {L}(Y)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfy the following conditions: [(i)] <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A"> <mml:semantics> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">A</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is left invertible; [(ii)] <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper B"> <mml:semantics> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">B</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is right invertible; [(iii)] <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X slash upper