Bounded approximants to monotone operators on Banach spaces

Abstract

It is shown that for any maximal monotone set-valued operator T on a real Banach space E , there is a sequence \{T_n\} of bounded maximal monotone operators which have nonempty values at each point and which converge to T in a reasonable sense. Better convergence properties are shown to hold when T is in a new proper subclass of maximal monotone operators (the “locally” maximal monotone operators), a subclass which coincides with the entire class in reflexive spaces. The approximation method is patterned on the one which results when the (maximal monotone) subdifferential ∂f of a proper lower semicontinuous convex function f is approximated by a sequence of bounded subdifferentials \{∂f_n\} , where each f_n is the (continuous and convex) inf-convolution of f with the function n ‖ · ‖ . The main advantage of this approximation scheme over the classical Moreau–Yosida approximation method is that it exists in non-reflexive Banach spaces. Résumé On montre que, pour chaque opérateur maximal monotone T sur un espace de Banach E , il existe une suite \{T_n\} d’opérateurs maximaux monotones bornés et non vides en chaque point, tel que T_n → T dans un sens raisonnable. De meilleures propriétés de convergence sont obtenues quand T est « localement maximal monotone », une sous-classe nouvelle de celle des opérateurs maximaux monotones et qui coïncide avec celle-ci dans les espaces réflexifs. La méthode d’approximation procède selon l’exemple de l’approximation d’une sous-différentielle ∂f (où f est propre, convexe, et semi-continue inférieur) au moyen d’une suite \{∂f_n\} de sous-différentielles, où chaque f_n est la inf-convolution (continue et convexe) de f avec la fonction n ‖ · ‖ . L’avantage principal de cette méthode sur la méthode classique de Moreau–Yosida est de rester applicable dans les espaces de Banach non réflexifs.