Hyperbolic groups and their quotients of bounded exponents

Abstract

In 1987, Gromov conjectured that for every non-elementary hyperbolic group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G"> <mml:semantics> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> there is an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals n left-parenthesis upper G right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n =n(G)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that the quotient group <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash upper G Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/G^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is infinite. The article confirms this conjecture. In addition, a description of finite subgroups of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash upper G Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/G^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is given, it is proven that the word and conjugacy problem are solvable in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G slash upper G Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G/G^{n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="intersection Underscript k equals 1 Overscript normal infinity Endscripts upper G Superscript k Baseline equals StartSet 1 EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo>⋂</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\bigcap _{k=1}^{\infty }G^{k} = \{ 1\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The proofs heavily depend upon prior authors’ results on the Gromov conjecture for torsion free hyperbolic groups and on the Burnside problem for periodic groups of even exponents.