Breaking of resonance and regularizing effect of a first order quasi-linear term in some elliptic equations

Abstract

In this article we study the problem \text{(P)}\: \begin{cases} −\mathrm{\Delta }u + |\mathrm{∇}u|^{q} = \lambda g(x)u + f(x) & \text{in }\Omega , \\ u > 0 & \text{in }\Omega , \\ u = 0 & \text{on }\partial \Omega , \end{cases} with 1⩽q⩽2 and f,g are positive measurable functions. We give assumptions on g with respect to q for which for all \lambda > 0 and all f \in L^{1} , f⩾0 , problem (P) has a positive solution. In particular we focus our attention on g(x) = {}^{1}/_{|x|^{2}} to prove that the assumptions on g are optimal. Résumé Dans cet article nous étudions le problème \text{(P)}\: \begin{cases} −\mathrm{\Delta }u + |\mathrm{∇}u|^{q} = \lambda g(x)u + f(x) & \text{in }\Omega , \\ u > 0 & \text{in }\Omega , \\ u = 0 & \text{on }\partial \Omega , \end{cases} où 1⩽q⩽2 et f,g sont des fonctions mesurables positives. Nous donnons des hypothèses sur g dépendant de q telles que pour tout \lambda > 0 et pour tout f \in L^{1} , f⩾0 , le problème (P) a une solution positive. Nous portons une attention particulière au cas g(x) = {}^{1}/_{|x|^{2}} pour montrer que les hypothèses sur g sont optimales.