Asymptotic behavior of Fourier transforms of self-similar measures

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu"> <mml:semantics> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a self-similar probability measure on <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathbb {R}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> satisfying <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mu equals sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript m Endscripts p Subscript j Baseline mu ring upper F Subscript j Superscript negative 1 Baseline comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi> μ </mml:mi> <mml:mo> ∘ </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mu =\sum _{j=1}^mp_j\mu \circ F_j^{-1},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper F Subscript j Baseline left-parenthesis x right-parenthesis equals rho x plus a Subscript j Baseline comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">F_j(x)=\rho x+a_j,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="0 greater-than"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&gt;</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">0&gt;</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="rho greater-than 1 comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ρ </mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\rho &gt;1,</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a Subscript j Baseline element-of double-struck upper R comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a_j\in \mathbb {R},</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript j Baseline greater-than 0"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p_j&gt;0</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="sigma-summation Underscript j equals 1 Overscript m Endscripts p Subscript j Baseline equals 1 period"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mo> ∑ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1.</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\sum _{j=1}^mp_j=1.</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"