The cohomology rings of the orbit spaces of free transformation groups of the product of two spheres

Abstract

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper G equals upper Z Subscript p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">G=Z_p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p"> <mml:semantics> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> a prime (resp. <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^1)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , act freely on a finitistic space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X"> <mml:semantics> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> with <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="mod p"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>mod</mml:mi> <mml:mo> ⁡ </mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {mod}p</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> (resp. rational) cohomology ring isomorphic to that of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S Superscript m Baseline times upper S Superscript n"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">S^m\times S^n</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . In this paper we determine the possible cohomology algebra of the orbit space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper X slash upper G"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">X/G</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .