Weyl spectra of operator matrices

Abstract

In this paper it is shown that if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M Subscript upper C Baseline equals Start 1 By 3 Matrix 1st Row 1st Column upper A 2nd Column a m p semicolon upper C Baseline 0 3rd Column a m p semicolon upper B EndMatrix"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="1"> <mml:mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mstyle> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M_{C}=\left (\begin {smallmatrix}A&amp;C 0&amp;B\end {smallmatrix} \right )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 times 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">2\times 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> upper triangular operator matrix acting on the Hilbert space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="script upper H circled-plus script upper K"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo> ⊕ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\mathcal {H}\oplus \mathcal {K}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega left-parenthesis dot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega (\cdot )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> denotes the “Weyl spectrum", then the passage from <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega left-parenthesis upper A right-parenthesis union omega left-parenthesis upper B right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∪ </mml:mo> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega (A)\cup \omega (B)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> to <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega left-parenthesis upper M Subscript upper C Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega (M_{C})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is accomplished by removing certain open subsets of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega left-parenthesis upper A right-parenthesis intersection omega left-parenthesis upper B right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo> ∩ </mml:mo> <mml:mi> ω </mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\omega (A) \cap \omega (B)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> from the former, that is, there is equality <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="omega left-parenthesis upper A right-parenthesis union omega left-parenthesis upper B right-parenthesis equals omega left-parenthesis upper M Subscript upper C Baseline right-parenthesis union German upper S comma"> <mml:semantics> <mml:mrow>