On the solvability of the equation ∑ⁿᵢ₌₁𝑥ᵢ/𝑑ᵢ≡0(𝑚𝑜𝑑1) and its application

Abstract

In this paper, we obtain a necessary and sufficient condition under which the equation of the title is unsolvable. More precisely, for the equation <disp-formula content-type="math/mathml"> \[ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartFraction x 1 Over d 1 EndFraction plus StartFraction x 2 Over d 2 EndFraction plus midline-horizontal-ellipsis plus StartFraction x Subscript n Baseline Over d Subscript n Baseline EndFraction identical-to 0 left-parenthesis mod 1 right-parenthesis comma x Subscript i Baseline integral comma 1 less-than-or-equal-to x Subscript i Baseline greater-than d Subscript i Baseline left-parenthesis 1 less-than-or-equal-to i less-than-or-equal-to n right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>≡<!-- ≡ --></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em" /> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo lspace="thickmathspace" rspace="thickmathspace">mod</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em" /> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext> integral</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mtext>1</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\frac {{{x_1}}}{{{d_1}}} + \frac {{{x_2}}}{{{d_2}}} + \cdots + \frac {{{x_n}}}{{{d_n}}} \equiv 0\quad (\bmod 1),\quad {x_i}{\text { integral}},{\text {1}} \leq {x_i} &gt; {d_i}(1 \leq i \leq n),</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> \] </disp-formula> where <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d 1 comma ellipsis comma d Subscript n Baseline"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{d_1}, \ldots ,{d_n}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are fixed positive integers, we prove the following result: The above equation is unsolvable if and only if 1. For some <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d Subscript i Baseline comma left-parenthesis d Subscript i Baseline comma d 1 d 2 midline-horizontal-ellipsis d Subscript n Baseline slash d Subscript i Baseline right-parenthesis equals 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{d_i},({d_i},{d_1}{d_2} \cdots {d_n}/{d_i}) = 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or 2. If <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d Subscript i 1 Baseline comma ellipsis comma d Subscript i Sub Subscript k Subscript Baseline left-parenthesis 1 less-than-or-equal-to i greater-than midline-horizontal-ellipsis greater-than i Subscript k Baseline less-than-or-equal-to n right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mo>⋯<!-- ⋯ --></mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>≤<!-- ≤ --></mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{d_{{i_1}}}, \ldots ,{d_{{i_k}}}(1 \leq i &gt; \cdots &gt; {i_k} \leq n)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is the set of all even integers among <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartSet d 1 comma ellipsis comma d Subscript n Baseline EndSet"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…<!-- … --></mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\left \{ {{d_1}, \ldots ,{d_n}} \right \}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="2 does-not-divide k comma d Subscript i 1 Baseline slash 2 comma ellipsis comma d Subscript i Sub Subscript k Subscript Baseline slash 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>∤<!-- ∤ --></mml:mo> <mml:m